❗页面施工中: 目前状态: 创建教程中.

要求:

✅将所有numthm环境用灰色admonish(quote)框起.
✅标点符号统一为英文.
✅使用添加对文内特定位置的超链接.
✅使用添加引用.

格式统一教程: 标题

原文存在一些对章节标题id的引用, 如([如](#templatetitle)). 这些统一替换成对章节文件名的引用([引用](chapter_x.md))

随机引的名人名言, 用quote括起 – 译者, 2025

x.1 小节: 右侧花括号添加 #id 即可用于引用

渲染时看不到上面说的花括号, 实际语句是: ## x.1 小节: 右侧花括号添加 #id 即可用于引用 { #templatesection }
quote 可以带标题, 遵照原文即可. 当原文需要引用的时候, 就使用 quote.

如何解形如’平方与根的和等于某数’的方程

举例来说: “一个平方加上它的十倍平方根等于三十九迪拉姆. “ 换句话说, 求这样一个平方数: 它加上它自身的十倍平方根, 结果是三十九.

解法如下:
(见Chapter 3)

因此, 这个平方根为三, 对应的平方为九.

代码块照常写即可.

# 使用 Python 的 sqrt 函数来计算平方根
def solve_eq(b, c):
    # 根据 al-Khwarizmi 的方法求解 x^2 + b*x = c
    blablabla()
# 测试: 求解 x^2 + 10*x = 39
print(solve_eq(10, 39))

出现在公式中的函数名全部应该用 \text 框起, 如 $XOR$ ( $\text{XOR}$ ). 如果发现某个名字经常出现, 应该将其添加进./makros.txt. 如与( $AND),$ 或( $OR),$ 非( $NOT) .$ ( $\AND, \OR, \NOT$ )
example 环境的示例. 注意其中嵌套了代码, 所以使用了~~~ 取代 ```. admonish的title中如果需要使用公式, 反斜杠需要重复三次. 例如下方的标题就出现了 $\\\text{MAJ}$ .

例: 用 $AND,$ $OR$ 和 $NOT$ 写出多数函数 $MAJ$

考虑函数 $MAJ : {0, 1}^{3} \to {0, 1},$ 其定义如下:

(…)

我们也可以将公式 (3.1) 以“编程语言“的形式表示: 将其表达为一组指令, 用于在给定基本操作 $AND, OR, NOT$ 的情况下计算 $MAJ :$

def MAJ(X[0],X[1],X[2]):
    firstpair  = AND(X[0],X[1])
    secondpair = AND(X[1],X[2])
    thirdpair  = AND(X[0],X[2])
    temp       = OR(secondpair,thirdpair)
    return OR(firstpair,temp)

公式的引用: 在行间公式中添加 [{numeq}]{id}, 例如: $foo \to bar (1)$ 然后就可以直接引用: (1) ([{eqref: templatenumeq}])(为防止替换, 这里最外层的花括号替换成了方括号.)

x.1.1 依然是小节名示例. 小节名总是可以添加id.

所有 preprocessor numthm 引入的定理/例子/命题环境都需要套一个 admonish quote, 以和正文分隔开. book.toml中可以自定义这些环境. 已经定义了一些“常用缩写+c“为名的中文环境. 例如:

引理 1. 对于每个 $a, b \in {0, 1},$ 在输入 $a, b$ 时, 算法 3.1 输出 $a + b mod 2.$

练习 1 ( $AND$ 与 $OR$ 满足分配律). 证明: 对于任意 $a, b, c \in {0, 1},$ 都有 $a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c) .$

定义 1 (使用AON-CIRC程序计算一个函数). 设 $f : {0, 1}^{n} \to {0, 1}^{m},$ 且 $P$ 为一个具有 $n$ 个输入和 $m$ 个输出的有效 AON-CIRC 程序.
如果对于每个 $x \in {0, 1}^{n}$ 都有 $P (x) = f (x),$ 则称 $P$ 计算函数 $f$ .

numthm 的引用方式: 引理 1 ([{ref: templatelem}]) (为防止替换, 这里最外层的花括号替换成了方括号.)
小练习对应的 admonish solution 以及证明对应的 admonish proof 应该是 collapsible 的. 如:

解答

我们可以通过枚举 $a, b, c \in {0, 1}$ 的所有 $8$ 种可能取值来证明这一点, 但它也可以直接从标准的分配律推导出来.

假设我们将任意正整数视为“真“, 将零视为“假“. 那么对于每个数 $u, v \in N,$ $u + v$ 为正当且仅当 $u \lor v$ 为真, 而 $u \cdot v$ 为正当且仅当 $u \land v$ 为真.

这意味着对于每个 $a, b, c \in {0, 1},$ 表达式 $a \land (b \lor c)$ 为真当且仅当 $a \cdot (b + c)$ 为正, 而表达式 $(a \land b) \lor (a \land c)$ 为真当且仅当 $a \cdot b + a \cdot c$ 为正.

根据标准的分配律 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c,$ 因此前者表达式为真当且仅当后者表达式为真.

证明

对于任意 $a, b,$ 有 $XOR (a, b) = 1$ 当且仅当 $a$ 与 $b$ 不同. 令 $w 1 = AND (a, b),$ $w 2 = NOT (AND (a, b)),$ $w 3 = OR (a, b) .$ 则在输入 $a, b \in {0, 1}$ 时, 算法 3.1 输出
$AND (w 2, w 3)$

如果 $a = b = 0,$ 则 $w 3 = OR (a, b) = 0,$ 因此输出为 $0.$
如果 $a = b = 1,$ 则 $AND (a, b) = 1,$ 所以 $w 2 = NOT (AND (a, b)) = 0,$ 输出为 $0.$
如果 $a = 1$ 且 $b = 0$ (或反之) , 则 $w 3 = OR (a, b) = 1$ 且 $w 1 = AND (a, b) = 0,$ 此时算法输出
$AND (NOT (w 1), w 3) = 1.$

原文的 pause 也有对应的 admonish:

暂停一下

像往常一样, 一个很好的练习是在继续阅读之前, 先尝试自己用 $AND$ 、 $OR$ 和 $NOT$ 算法推导出 $XOR$ 的实现方法.

算法的写法, 以下是一个例子:

算法 1 (用 $AND,$ $OR$ 与 $NOT$ 计算 $XOR$ ).

$Input : a, b \in {0, 1} Output : XOR (a, b) Step1 : w_{1} \leftarrow AND (a, b) Step2 : w_{2} \leftarrow NOT (w_{1}) Step3 : w_{3} \leftarrow OR (a, b) Step4 : return AND (w_{2}, w_{3})$

当然, 与图片一样, 也可以使用llm帮助转换.

依照示例, 将以下格式的算法转换为tex格式:
Input: $a,b \in \{0,1\}.$
Output: $XOR(a,b)$

$w1 \leftarrow AND(a,b)$

$w2 \leftarrow NOT(w1)$

$w3 \leftarrow OR(a,b)$

return $AND(w2,w3)$
转换为
$
  \begin{array}{l}
  \mathbf{Input:}\ a,b \in \{0,1\} \\
  \mathbf{Output:}\ \XOR(a,b) \\
  \hline
  \mathbf{Step 1:}\ w_1 \leftarrow \AND(a,b) \\
  \mathbf{Step 2:}\ w_2 \leftarrow \NOT(w_1) \\
  \mathbf{Step 3:}\ w_3 \leftarrow\OR(a,b) \\
  \mathbf{Step 4: return}\ \AND(w_2,w_3)
  \end{array}
$
我将提供其它类似格式的算法输入.

脚注的例子 ¹ ([{footnote: 这是一条脚注}]). 最外层的方括号替换为花括号, 文中出现脚注时需要使用.
正文结束后, 用 admonish hint 写回顾

回顾

算法是通过一系列“基本“或“简单“操作来执行计算的步骤或配方.
…

习题 1 (比较 $4$ bit 数字). 给出一个布尔电路 (使用 $AND / OR / NOT$ 门) , 该电路计算函数 $CMP_{8} : {0, 1}^{8} \to {0, 1},$ 使得当且仅当由 $a_{0} a_{1} a_{2} a_{3}$ 表示的数大于由 $b_{0} b_{1} b_{2} b_{3}$ 表示的数时, $CMP_{8} (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}) = 1.$

依然可以先翻译习题(和标题), 再用llm调整格式, 以下是可用的prompt.

改变以下我输入的习题框的格式: 例如
::: {.exercise title="比较 $4$bit 数字" #comparenumbersex}

给出一个布尔电路（使用 $\AND/\OR/\NOT$ 门），该电路计算函数 $ \text{CMP}_8:\{0,1\}^8 \rightarrow \{0,1\}$，使得当且仅当由 $a_0a_1a_2a_3$ 表示的数大于由 $b_0b_1b_2b_3$ 表示的数时，$ \text{CMP}_8(a_0,a_1,a_2,a_3,b_0,b_1,b_2,b_3)=1$。
:::
改为

[{proc}]{comparenumbersex}[比较 $4$bit 数字]
给出一个布尔电路（使用 $\AND/\OR/\NOT$ 门），该电路计算函数 $ \text{CMP}_8:\{0,1\}^8 \rightarrow \{0,1\}$，使得当且仅当由 $a_0a_1a_2a_3$ 表示的数大于由 $b_0b_1b_2b_3$ 表示的数时，$ \text{CMP}_8(a_0,a_1,a_2,a_3,b_0,b_1,b_2,b_3)=1$。
接下来我将提供输入.

注意上面proc的方括号要改掉.

杂记

杂记需要修复对文献的引用. 使用 <a> 编写引用.

1: 这是一条脚注

| 理论计算机科学导论 |

格式统一教程: 标题

学习目标

目录

x.1 小节: 右侧花括号添加 #id 即可用于引用

x.1.1 依然是小节名示例. 小节名总是可以添加id.

x.2 小节: 各类环境使用方式汇总

x.2.1 admonish

习题

杂记